Un naked subset est un groupe de N cellules dans une même maison (ligne, colonne ou bloc) dont les candidats combinés contiennent exactement N chiffres distincts. Comme ces N chiffres doivent remplir ces N cellules, ils ne peuvent apparaître dans aucune autre case de cette maison. Cela vous permet d'éliminer ces chiffres en toute sécurité des cellules restantes.

Le mot « naked » signifie que les candidats sont entièrement visibles et exposés. Vous n'avez pas besoin de chercher des chiffres cachés parmi d'autres candidats. Le subset s'annonce clairement par les marques au crayon dans ces cellules.

Il existe quatre techniques de naked subset, une pour chaque taille de groupe possible :

- Simple nu (N=1) -- une case avec un candidat

- Paire nue (N=2) -- deux cellules dont les candidats combinés sont exactement deux chiffres

- Triple nu (N=3) -- trois cellules dont les candidats combinés sont exactement trois chiffres

- Quadruplet nu (N=4) -- quatre cellules dont les candidats combinés sont exactement quatre chiffres

Ces quatre techniques forment une famille. Elles partagent la même logique sous-jacente et ne diffèrent que par le nombre de cellules impliquées. Une fois le principe de base compris, les subsets plus grands deviennent des extensions naturelles des plus simples.

La logique derrière les naked subsets repose sur un argument de comptage fondamental parfois appelé principe des tiroirs. En langage simple : si vous avez N emplacements et exactement N éléments à y placer, chaque élément va dans exactement un emplacement, et aucun autre élément ne peut occuper ces emplacements.

Considérez une ligne de neuf cellules. Chaque case non résolue possède un ensemble de chiffres candidats, les marques au crayon qui pourraient encore légalement aller dans cette case. Supposons que vous trouviez deux cellules dans cette ligne dont les candidats proviennent tous deux du même ensemble de deux chiffres, disons {4, 6}. L'une de ces cellules doit contenir 4 et l'autre doit contenir 6. Il n'y a pas de place pour un autre arrangement. Cela signifie qu'aucune autre case de la ligne ne peut contenir 4 ou 6, car les deux chiffres sont entièrement attribués à ces deux cellules.

Le même raisonnement s'applique à plus grande échelle. Trois cellules dont les candidats combinés totalisent exactement trois chiffres verrouillent ces trois chiffres dans ces trois cellules. Quatre cellules avec quatre candidats combinés verrouillent les quatre chiffres. Dans chaque case, les chiffres verrouillés peuvent être éliminés de toutes les autres cellules de la maison partagée.

Ce principe s'applique de manière identique, que la maison soit une ligne, une colonne ou un bloc 3x3. La seule condition est que les N cellules appartiennent à la même maison.

Un simple nu est le sous-ensemble nu le plus simple possible. Il se produit lorsqu'une case n'a plus qu'un seul candidat dans ses marques au crayon. Comme il n'y a qu'un seul chiffre pouvant légalement aller dans cette case, ce chiffre est la solution de la case.

Tout solveur de Sudoku, qu'il soit humain ou algorithmique, s'appuie sur les candidats uniques nus. Ils constituent l'étape finale de la chaîne d'élimination : après que toutes les contraintes de la ligne, de la colonne et du bloc ont retiré les chiffres impossibles, le dernier candidat restant est la réponse.

Trouver un simple nu exige de suivre attentivement les marques au crayon de chaque case. Une case commence avec jusqu'à neuf candidats possibles. Au fur et à mesure que vous placez des chiffres ailleurs sur la grille, des candidats sont éliminés :

- Si un chiffre est placé quelque part dans la même ligne, retirez-le des candidats de la case.

- Si un chiffre est placé quelque part dans la même colonne, retirez-le des candidats de la case.

- Si un chiffre est placé quelque part dans le même bloc 3x3, retirez-le des candidats de la case.

Lorsque ces éliminations réduisent une case à un seul candidat, vous avez trouvé un simple nu.

Considérez case R5C3 dans une grille partiellement résolue. Les contraintes de ligne, de colonne et de bloc éliminent les chiffres suivants :

- La ligne 5 contient déjà : 1, 3, 5, 8

- La colonne 3 contient déjà : 2, 6, 9

- Le bloc 4 (le bloc du milieu à gauche) contient déjà : 7

Combinés, les chiffres 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 et 9 sont tous éliminés. Le seul candidat restant est 4. Case R5C3 doit être 4. C'est un simple nu.

Les candidats uniques nus doivent être votre première vérification après chaque coup. Chaque fois que vous placez un chiffre, il peut réduire les cellules voisines à un seul candidat. Dans les grilles faciles, des chaînes de candidats uniques nus peuvent résoudre de grandes parties de la grille sans aucune autre technique. Même dans les grilles plus difficiles, les candidats uniques nus nettoient la grille après que des techniques plus avancées ont éliminé des candidats.

Une paire nue se produit lorsque deux cellules d'une même maison contiennent chacune exactement les deux mêmes candidats et aucun autre candidat. Comme ces deux chiffres doivent aller dans ces deux cellules, vous pouvez éliminer les deux chiffres de toutes les autres case de cette maison.

Les paires nues sont l'une des stratégies intermédiaires Sudoku les plus couramment appliquées. Elles apparaissent fréquemment et débloquent souvent des progrès significatifs en supprimant des candidats qui bloquent d'autres techniques.

Supposons que deux cellules de la ligne 1 contiennent toutes deux les candidats {4, 6} et aucun autre candidat :

- R1C2 a pour candidats : {4, 6}

- R1C7 a pour candidats : {4, 6}

L'une de ces cellules sera 4 et l'autre sera 6. Nous ne savons pas encore laquelle, mais nous savons avec certitude que 4 et 6 sont entièrement consommés par ces deux cellules. Par conséquent, aucune autre case de la ligne 1 ne peut contenir 4 ou 6.

Si R1C4 avait pour candidats {3, 4, 6, 9}, elle peut être réduite à {3, 9} en supprimant 4 et 6. Si R1C8 avait pour candidats {2, 6}, elle peut être réduite à {2}. Cette réduction à un seul candidat est elle-même une simple nu, ce qui résout immédiatement la case.

Balayez chaque maison à la recherche de cellules ayant exactement deux candidats. Lorsque vous trouvez deux cellules d'une même maison avec des ensembles identiques de deux candidats, vous avez une paire nue. Comme les cellules ne comportant que deux marques au crayon ressortent visuellement, les paires nues sont parmi les techniques intermédiaires les plus faciles à repérer.

Une habitude utile : chaque fois que vous remarquez une case avec seulement deux candidats, vérifiez immédiatement si une autre case de la même ligne, colonne ou bloc partage la même paire.

Un triple nu se produit lorsque trois cellules d'une même maison ont des candidats entièrement issus du même ensemble de trois chiffres exactement. L'ensemble combiné de tous les candidats des trois cellules contient exactement trois chiffres distincts.

Voici l'idée clé qui prend de court bien des joueurs : chaque case individuel n'a pas besoin de contenir les trois chiffres. Un triple nu valide peut inclure des cellules avec seulement deux des trois chiffres. Ce qui compte, c'est que l'union de tous les candidats des trois cellules totalise exactement trois valeurs distinctes.

Beaucoup de joueurs apprennent d'abord les paires nues, puis supposent qu'un triplet nu exige trois cellules contenant chacune les mêmes trois candidats, comme {1, 3, 7} dans les trois cellules. Bien que ce soit une forme valide de triple nu, ce n'est pas la seule et pas même la plus courante.

Considérez ces trois cellules de la colonne 5 :

- R2C5 : {1, 3}

- R4C5 : {1, 7}

- R8C5 : {3, 7}

Les candidats combinés sont {1, 3, 7}, soit exactement trois chiffres dans trois cellules. C'est un triple nu valide, même si aucune case ne contient les trois chiffres.

La logique est la même qu'avec les paires nues. Ces trois chiffres doivent remplir ces trois cellules dans un certain ordre. Une case reçoit 1, une reçoit 3, une reçoit 7. Par conséquent, 1, 3 et 7 peuvent être éliminés de toute autre case de la colonne 5.

Commencez par repérer les cellules à deux ou trois candidats. Dans une maison donnée, si vous trouvez trois cellules dont les candidats combinés forment un ensemble de trois chiffres exactement, vous avez un triple nu.

Une approche pratique :

1. Dans chaque maison, listez toutes les cellules non résolues avec trois candidats ou moins.

2. Choisissez n'importe quelle combinaison de trois de ces cellules.

3. Faites l'union de leurs candidats. Si l'union compte exactement trois chiffres, c'est un triple nu.

Comme il existe de multiples combinaisons possibles, les triples nus demandent un examen plus attentif que les paires nues. C'est en partie ce qui en fait une technique de difficulté supérieure.

Un quadruplet nu est le plus grand sous-ensemble nu couramment utilisé. Il se produit lorsque quatre cellules d'une maison ont des candidats entièrement issus du même ensemble d'exactement quatre chiffres. Comme pour les triples, chaque cellule n'a pas besoin de contenir les quatre chiffres. La condition essentielle est que l'union des candidats des quatre cellules soit égale à exactement quatre valeurs distinctes.

La logique est identique à celle des sous-ensembles nus plus petits. Quatre chiffres doivent remplir quatre cellules. Ces chiffres ne peuvent apparaître nulle part ailleurs dans la maison.

Les quadruples nus sont rarement repérés par un simple balayage. Avec quatre cellules et quatre chiffres, il y a bien plus de combinaisons possibles à vérifier. Dans une maison comportant six cellules non résolues, il existe 15 façons possibles d'en choisir quatre. Vérifier chaque combinaison mentalement est fastidieux.

La plupart des joueurs qui trouvent des quadruples nus le font soit par vérification systématique, soit en repérant d'abord que les cellules restantes forment un sous-ensemble caché complémentaire.

Malgré leur rareté, les quadruples nus apparaissent dans de vraies grilles, surtout celles de difficulté modérée à difficile. Avoir cette technique dans son répertoire vous évite de rester bloqué lorsque les techniques plus simples sont épuisées.

Trouver efficacement des sous-ensembles nus exige une approche structurée plutôt qu'un balayage aléatoire. Voici les techniques qu'utilisent les joueurs expérimentés :

Commencez par les petits nombres de candidats : les cellules ayant moins de candidats participent plus souvent aux sous-ensembles nus. Un case à deux candidats peut faire partie d'une paire, d'un triple ou d'un quadruple. Un case à cinq candidats est moins utile car il apporte trop de chiffres à l'union. Balayez chaque maison pour repérer d'abord les cellules à deux candidats. Cherchez les paires correspondantes. Examinez ensuite ensemble les cellules à deux ou trois candidats pour trouver des triples.

Procédez maison par maison : choisissez une ligne, une colonne ou un bloc et examinez ensemble toutes ses cellules non résolues. Listez leurs candidats. Cherchez des groupes de cellules dont les candidats se recoupent dans un petit ensemble de chiffres.

Utilisez la vérification par comptage : pour tout groupe de N cellules dont vous soupçonnez qu'il forme un sous-ensemble nu, comptez les chiffres distincts dans leurs candidats combinés. Si le compte est égal à N, vous avez trouvé un sous-ensemble nu. S'il dépasse N, ces cellules ne forment pas un sous-ensemble nu.

Vérifiez après chaque élimination : lorsqu'une autre technique retire des candidats d'un case, revérifiez la maison de ce case. L'élimination peut avoir créé un nouveau sous-ensemble nu qui n'était pas visible auparavant. Beaucoup de paires nues apparaissent comme effet secondaire d'éliminations antérieures.

Cherchez le complément : si une maison a K cellules non résolues et que vous soupçonnez l'existence d'un sous-ensemble nu sans le trouver directement, examinez le complément. Trouver un sous-ensemble caché de taille M implique automatiquement un sous-ensemble nu de taille K - M.

Les sous-ensembles nus et les sous-ensembles cachés sont les deux faces d'une même pièce. Comprendre leur dualité approfondit votre maîtrise de la logique Sudoku et peut vous aider à repérer des motifs que vous auriez autrement manqués.

Un sous-ensemble caché se produit lorsque N chiffres d'une maison n'apparaissent que dans N cellules précises. Les chiffres sont « cachés » parce que ces cellules peuvent aussi contenir d'autres candidats. L'élimination retire les candidats supplémentaires de ces N cellules, ne laissant que les chiffres cachés.

Dans toute maison comportant K cellules non résolues, s'il existe un sous-ensemble nu de taille N, il existe automatiquement un sous-ensemble caché de taille K - N. Les deux sous-ensembles sont complémentaires : ils partitionnent les cellules non résolues et les chiffres restants en deux groupes disjoints.

Par exemple, considérez une ligne avec 6 cellules non résolues. Si deux de ces cellules forment un paire nue, les quatre cellules restantes forment un quadruple caché (ou de façon équivalente, un quadruplet nu existe parmi les chiffres exclus de ces quatre cellules). Vous pouvez trouver l'un ou l'autre et appliquer les éliminations correspondantes.

Cette dualité signifie que vous avez deux chemins vers la même élimination. Si une maison a beaucoup de cellules non résolues, un petit sous-ensemble nu (paire ou triplet) est plus facile à repérer qu'un grand sous-ensemble caché. Inversement, si une maison a peu de cellules non résolues, un Paire Cachée peut être plus facile à trouver que de chercher le quadruplet nu complémentaire.

Les solveurs expérimentés alternent entre les perspectives nue et cachée selon ce qui est le plus pratique dans une situation donnée. La capacité de voir les deux côtés vous donne un avantage considérable.

Les quatre techniques de sous-ensemble nu s'étendent sur plusieurs niveaux de difficulté, ce qui reflète combien il est plus difficile de les repérer à mesure que la taille du groupe augmente :

Simple nu (N=1) : Niveau 2, Facile

Paire nue (N=2) : Niveau 3, Facile

Triple nu (N=3) : Niveau 4, Modéré

Quadruplet nu (N=4) : Niveau 5, Difficile

L'augmentation de la difficulté ne concerne pas la logique, qui est identique dans chaque case, mais la complexité de la recherche :

Simple nu : Il suffit de vérifier une seule case. Si elle n'a qu'un seul candidat, c'est terminé. Aucune recherche de combinaison n'est nécessaire.

Paire nue : Il faut trouver deux cellules dont les candidats correspondent. Dans une maison comportant six cellules non résolues, il y a 15 paires possibles à vérifier. Mais comme vous cherchez des cellules ayant exactement deux candidats identiques, le motif visuel est distinctif et facile à reconnaître.

Triple nu : Il faut trouver trois cellules dont les candidats combinés totalisent trois chiffres. Dans une maison comportant six cellules non résolues, il y a 20 triplets possibles. La recherche est plus difficile car les cellules n'ont pas besoin d'avoir des ensembles de candidats identiques.

Quadruplet nu : Il faut trouver quatre cellules parmi potentiellement de nombreuses cellules non résolues. Le nombre de combinaisons augmente, et les unions de quatre chiffres sont plus difficiles à calculer mentalement. La plupart des quads sont trouvés indirectement, soit par un comptage systématique des candidats, soit en repérant le Paire Cachée complémentaire.

Les niveaux de difficulté des grilles dépendent souvent des techniques nécessaires pour les résoudre. Une grille qui ne demande rien de plus que des candidats uniques nus et des paires nues est classée comme facile. Une grille nécessitant des triples nus entre en territoire modéré. Une grille qui exige un quadruplet nu est au moins difficile.

Erreur 1 : croire que toutes les cellules contiennent tous les chiffres

L'erreur la plus fréquente avec les triples et quadruples nus est de supposer que chaque case du sous-ensemble doit contenir les N chiffres. C'est faux. Un triple nu avec les cellules {1,3}, {1,7} et {3,7} est parfaitement valide même si aucune case ne contient à la fois 1, 3 et 7.

Comment l'éviter : vérifiez toujours l'union des candidats, pas les cellules individuellement. Comptez les chiffres distincts dans toutes les cellules du groupe. Si le compte égale le nombre de cellules, c'est un sous-ensemble nu, quelle que soit la répartition des chiffres entre les cellules.

Erreur 2 : confondre sous-ensembles nus et cachés

Un paire nue a N cellules dont les candidats se limitent à N chiffres. Un Paire Cachée a N chiffres limités à N cellules, mais ces cellules peuvent avoir des candidats supplémentaires.

Avec un paire nue, vous éliminez les chiffres de la paire des autres cellules de la maison. Avec un Paire Cachée, vous éliminez les chiffres hors paire des cellules de la paire elle-même.

Comment l'éviter : demandez-vous : « Est-ce que je regarde des cellules aux candidats restreints (nu) ou des chiffres aux emplacements restreints (caché) ? » Le sens de la restriction détermine le type de sous-ensemble trouvé.

Erreur 3 : éliminer dans les mauvaises cellules

Quand vous trouvez un paire nue {4, 6} dans les cellules R1C2 et R1C7, vous éliminez 4 et 6 des autres cellules de la ligne 1. Vous n'éliminez pas d'autres candidats de R1C2 et R1C7 elles-mêmes. Les candidats du paire nue restent intacts dans les cellules du sous-ensemble.

Comment l'éviter : rappelez-vous la règle : les sous-ensembles nus éliminent leurs chiffres des cellules hors du sous-ensemble. Les sous-ensembles cachés éliminent les chiffres hors sous-ensemble des cellules à l'intérieur du sous-ensemble.

Erreur 4 : oublier de vérifier toutes les maisons partagées

Deux cellules peuvent partager plus d'une maison. Par exemple, R1C1 et R1C3 partagent à la fois la ligne 1 et le bloc 1. Si elles forment un paire nue, vous pouvez éliminer les chiffres de la paire des autres cellules de la ligne 1 et des autres cellules du bloc 1. Ne limitez pas vos éliminations à une seule maison.

Comment l'éviter : pour chaque sous-ensemble nu trouvé, vérifiez quelles maisons toutes ses cellules partagent. Appliquez les éliminations dans chaque maison partagée.

Les sous-ensembles nus doivent être vérifiés du plus petit au plus grand :

1. Les candidats uniques nus d'abord. Après chaque placement, cherchez de nouveaux candidats uniques nus. Ils sont immédiats et gratuits.

2. Les paires nues ensuite. Une fois qu'il ne reste plus de candidats uniques nus, cherchez des paires nues dans chaque ligne, colonne et bloc. C'est la technique intermédiaire la plus courante, et elle débloque souvent d'autres candidats uniques nus.

3. Les triples nus en troisième. Quand les paires ne suffisent pas, élargissez votre recherche aux triples. Concentrez-vous sur les maisons où plusieurs cellules ont deux ou trois candidats.

4. Les quadruples nus en dernier. Ne cherchez des quadruples que lorsque les sous-ensembles plus petits et les autres techniques ont été épuisés. Vu leur difficulté, envisagez d'abord de chercher des paires ou des triples cachés, car ils sont souvent plus faciles à repérer et révèlent la même information grâce au principe de dualité.

En suivant cette progression, vous appliquez d'abord les techniques les plus simples et les plus productives, en économisant votre effort mental pour le moment où il est vraiment nécessaire.

Les sous-ensembles nus forment une famille de quatre Sudoku unies par un seul principe élégant : N cellules dans une maison avec exactement N candidats combinés verrouillent ces chiffres en place, ce qui vous permet de les éliminer de toutes les autres cellules de la maison.

Du modeste simple nu qui résout une case d'emblée, en passant par les paires et triples nus qui éliminent des candidats, jusqu'au quadruplet nu insaisissable qui exige une recherche systématique minutieuse, ces techniques constituent l'épine dorsale de la résolution logique d'un Sudoku. Les maîtriser vous donne des outils fiables qui s'appliquent aux grilles de tous les niveaux de difficulté et pose les fondations pour aborder des stratégies encore plus avancées comme les sous-ensembles cachés, les motifs de poissons et les chaînes.